Наука для всех. Российская Академия Наук. (ras_daily) wrote,
Наука для всех. Российская Академия Наук.
ras_daily

Category:

Идейная математика Алексея Николаевича Паршина

Я расскажу о математике, академике РАН, работающем в МИАНе, Алексее Николаевиче Паршине. Его результаты относятся к алгебраической геометрии и теории чисел. Он является ярким представителем крупнейшей в мире школы алгебраической геометрии, основанной Игорем Ростиславовичем Шафаревичем.

Можно сказать, что алгебраическая геометрия появилась еще в трудах Рене Декарта. Будучи философом-рационалистом, Декарт ввел систему координат в геометрии. Она позволяет задавать геометрические объекты точными алгебраическими уравнениями. Например, окружность с центром в начале координат и радиусом 1 задается уравнением . Иными словами, точки такой окружности соответствуют решениям (x,y) приведенного выше уравнения (это следует из знаменитой теоремы Пифагора).

Данный подход приводит к теснейшей взаимосвязи между геометрией с ее интуитивным способом мышления и алгеброй с ее более конструктивным подходом. Такая взаимная игра глубоко обогащает оба раздела математики и является предметом алгебраической геометрии. При помощи алгебраической геометрии разработан широкий спектр мощнейших методов в теории чисел.

Один из основных разделов теории чисел, восходящий к Диофанту, заключается в поиске ответов на вопросы следующего типа. Можно ли решить данное уравнение (или систему уравнений) в рациональных числах (т.е. в положительных или отрицательных дробях)? Насколько много существует таких решений? Уточним, что под словом уравнение имеются в виду уравнения, задающиеся многочленом от x и y с рациональными коэффициентами, например, Казалось бы, таких вопросов можно ставить великое множество: сколько уравнений, столько и вопросов. Тонкое искусство заключается тут как раз в том, чтобы подчинять этот хаос разуму и находить целые серии уравнений, для которых существует разумный ответ на поставленные выше вопросы. Например, Великая теорема Ферма утверждает, что у уравнения нет решений в рациональных числах, где n – натуральное число строго большее 2.

Другим ярким примером является одна знаменитая гипотеза, высказанная Луисом Морделлом в 1922 году. Ее доказательство является объединением идей и результатов целого ряда математиков из разных стран. После завершения окончательного этапа доказательства немецкий математик Герд Фальтингс получил в 1986 году Филдсовскую медаль (аналог Нобелевской премии для математиков). Один из центральных шагов в доказательстве гипотезы Морделла был осуществлен А.Н. Паршиным и носит в мире название Parshins trick.

Объясним вкратце, в чем заключается гипотеза Морделла. Степенью многочлена называется максимум степеней входящих в него одночленов, а степенью одночлена называется сумма m+n. Например, степень одночлена равна 13, степень одночлена равна 12, а степень многочлена равна 11. Так вот, гипотеза Морделла утверждает, в частности, что если степень многочлена f(x,y) не меньше чем 4, и выполнено одно несложное техническое условие, то у уравнения f(x,y)=0 есть лишь конечное число рациональных решений. Техническое условие заключается в гладкости проективизации соответствующей плоской кривой, что бы это ни значило. Данное условие очень легко проверяется и выполняется для случайно взятого уравнения. Например, оно выполнено для уравнения Ферма . Из гипотезы Морделла следует, в частности, что при n не меньше чем 4 у уравнения Ферма лишь конечное число решений (на самом деле, как доказал Эндрю Уайлс, их вообще нет).

В доказательстве гипотезы Морделла А.Н. Паршин свел конечность числа решений, т.е. числа рациональных точек на кривой, к конечности числа некоторых кривых, обладающих рядом специальных свойств. Это очень типично для алгебраической геометрии и для математики в целом: увидеть за данными от природы простыми объектами (точками) сложные теоретические объекты (кривые со специальными свойствами). Как правило, последние объекты обладают более богатой структурой, чем исходные простые объекты. И, как ни парадоксально, новые сложные объекты часто оказывается проще изучать благодаря этой богатой структуре. Так, трюк Паршина позволил обрушить на гипотезу Морделла весь арсенал хорошо развитой теории, так называемых, абелевых многообразий.

Помимо этого А.Н. Паршиным решен ряд известных задач и, главное, заложены концептуальные основы некоторых современных теорий. Одной из таких теорий является многомерная теория полей классов. Здесь А.Н. Паршин увидел необходимость в объединении классической теории Галуа с одним современным разделом алгебры: К-теорией.

В последние годы А.Н. Паршин занимается построением теории многомерных аделей. В перспективе это может привести к доказательству одной из самых знаменитых открытых гипотез теории чисел, одной из задач миллениума, гипотезы Бёрча и Свиннертона-Дайера.

Идейный подход А.Н. Паршина заключается в обобщении теории аделей, появившейся в работах Клода Шевалле и Андре Вейля в середине XX века. Теория аделей позволяет эффективно исследовать один из центральных объектов в теории чисел: дзета-функцию. Этот метод является красивым сплавом алгебры, геометрии и функционального анализа.

Можно сказать, что классическая теория аделей относится к одномерному случаю. В то же время изучение упоминавшихся выше уравнений от двух переменных x и y относится уже к двумерному случаю. Однако естественная идея построения аделей для многомерного случая встречает необходимость изобретать принципиально новую математику, в частности, новый функциональный анализ. Не боясь этих трудностей, Алексей Николаевич продолжает бодро и активно развивать свои идеи в математике. 

Наконец, чтобы дать читателям немного почувствовать адели и их многомерное обобщение, рассмотрим следующий пример (он будет требовать некоторого знакомства с основами математического анализа). Одна из главных идей теории аделей заключается в том, чтобы изучать геометрические и арифметические объекты, рассматривая их локально (это в принципе одна из общих идей в геометрии и анализе). Например, изучать кривую, рассматривая всевозможные достаточно малые окрестности точек на ней. Далее, один из центральных принципов алгебраической геометрии диктует необходимость и естественность рассмотрения функций на геометрических объектах. В достаточно малой окрестности точки на кривой (вещественно-аналитические) функции раскладываются в ряды. Например, функции от одной переменной раскладываются в ряды Тэйлора в окрестностях точек на прямой. На прямой с координатой x функция равна сумме ряда
,
а функция раскладывается в окрестности нуля в ряд

Функции от двух переменных можно также раскладывать в ряды Тэйлора от двух переменных x и y. Было бы естественно считать, что в двумерии локальным объектом для изучения является точка на плоскости (вместе с некоторой достаточно малой окрестностью).

Но на самом деле это не так. Идея Паршина заключается в том, что локальным объектом в двумерии является не одна точка, а пара: точка и кривая, проходящая через нее.

Это мотивировано тем, что во многих конструкциях важно использовать не только ряды Тэйлора, но и ряды Лорана, то есть ряды вида , где f(x) --- ряд Тэйлора, а a --- целое число (может быть, отрицательное). Функция раскладывается в ряд Лорана, но не в ряд Тэйлора. Таким образом, ряд Лорана --- это ряд от целых степеней переменной x, начинающийся с какой-то отрицательной степени. С другой стороны, бесконечный ряд

не является рядом Лорана от x.
Задумаемся о том, что должно быть двумерным обобщением рядов Лорана. Ряд

является рядом Лорана от x с коэффициентами в рядах Лорана от y. В то же время ряд
,
является рядом Лорана от y с коэффициентами в рядах Лорана от x, но не наоборот. Это показывает, что существуют разные типы рядов Лорана. В нашем примере тип рядов Лорана зависит от выбора порядка между x и y. Геометрически это соответствует двум разным выборам кривых, проходящих через начало координат: в первом случае рассматривается вертикальная ось ординат, а во втором случае --- горизонтальная ось абсцисс. Более того, можно показать, что выбор любой кривой через начало координат приведет к своему типу рядов Лорана. Таким образом, локальным объектом в двумерии является не одна только точка, а точка и кривая, проходящая через нее. Такие пары являются кирпичами для построения здания двумерных аделей. Подобные рассмотрения возникают и в многомерном случае.



Сергей Горчинский
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments